función integral

Función integral 

Aplicación lineal definida sobre un conjunto de funciones y cuyo conjunto imagen está formado por números, funciones o clases de funciones. Los distintos tipos de integración se caracterizan por el modo de definir la aplicación y por las condiciones de las funciones a las que se aplican. Dicha aplicación lineal consiste en calcular la función F(x) cuya derivada da como resultado otra función o familia de funciones f(x). Si f y F son dos funciones reales que están definidas en un mismo dominio, ...

Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral:



que depende del límite superior de integración.

Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x.

Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].

teoremas

Teorema fundamental del cálculo 

consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas.Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo infinitesimal.

El teorema fue fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado del cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII, y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow,denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Intuición geométrica 

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) cuya representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

El área rayada en rojo puede ser calculada como h veces f(x), o, si se conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales, especialmente para valores pequeños de h.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) cuya representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

${\displaystyle f(x)\approx {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}.}$

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir, el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

Ejemplos

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}dt\quad \Rightarrow \quad F'(x)=x^{2}}$

${\displaystyle H(x)=\int _{0}^{e^{3x}}\operatorname {sen}(t)dt\quad \rightarrow \quad H'(x)=\operatorname {sen}(e^{3x})e^{3x}\cdot 3}$

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x^{2}}\operatorname {sen} ^{-1}(t)dt\quad \rightarrow \quad G'(x)=\operatorname {sen} ^{-1}(x^{2})\cdot 2x}$

${\displaystyle J(x)=\int _{0}^{\int _{a}^{x}{\frac {1}{(1+\operatorname {sen} ^{2}t)}}dt}{\frac {1}{(1+\operatorname {sen} ^{2}t)}}dt\quad \rightarrow \quad J'(x)={\frac {1}{(1+\operatorname {sen} ^{2}(\int _{a}^{x}{\frac {1}{(1+\operatorname {sen} ^{2}t)}}dt))}}\,\cdot \,{\frac {1}{(1+\operatorname {sen} ^{2}x)}}}$

Teorema de la media

es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial.

el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (b, f(b)) y (a, f(a)). Es decir:

${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}$

Este teorema lo formuló Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange, de hecho, es una generalización del teorema de Rolle, que dice que si una función es definida y continua [a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f'(c) = 0.

Demostración

1) Primero se consideran dos puntos ${\displaystyle (a,f(a))\;}$ y ${\displaystyle (b,f(b))\;}$ pertenecientes al gráfico de la función. La ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:

${\displaystyle y=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)}$

Se define una función auxiliar:

${\displaystyle g(x)=f(x)-y=f(x)-\left[f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\right]}$

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle en [a,b] ya que:

${\displaystyle g(a)=f(a)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(a-a)=0=g(b)=f(b)-f(a)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}(b-a)}$

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) = g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:

${\displaystyle 0=g'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

y así

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

que es lo que se quería demostrar.

2) Sea ${\displaystyle m_{ab}}$ la pendiente de la recta secante entre ${\displaystyle [a,b]}$, se define la ecuación punto-pendiente:

${\displaystyle y=m_{ab}x+c_{1}}$

${\displaystyle m_{ab}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

o también,

${\displaystyle -m_{ab}x+y=c_{1}}$

De acuerdo al enunciado la función es derivable en ${\displaystyle (a,b)}$, por lo que se puede escoger algún valor ${\displaystyle x=c}$ en dicho intervalo tal que ${\displaystyle f'(c)}$ existe y es la pendiente de la recta tangente en dicho punto y por ende la recta tangente tiene la forma (punto-pendiente):

${\displaystyle y=f'(c)x+c_{2}}$

o también,

${\displaystyle -f'(c)x+y=c_{2}}$

Se observa que se llega a un sistema lineal de 2x2

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}-m_{ab}x+y=c_{1}\\-f'(c)x+y=c_{2}\end{matrix}}\right.}$

La matriz del sistema es:

${\displaystyle \mathbb {A} =\;{\begin{pmatrix}-m_{ab}&1\\-f'(c)&1\\\end{pmatrix}}}$

Y su determinante es:

${\displaystyle \det(A)=f'(c)-m_{ab}}$

Para que el sistema no tenga solución se debe cumplir det(A)=0, por lo tanto las rectas son paraleas en x=c, es decir f'(c) = m_ab

Entonces, existe al menos un punto que no da solución al sistema y además la recta tangente al mismo es paralela a la recta entre a y b, es decir:

${\displaystyle f'(c)=m_{ab}}$

o también,

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$

Con ello queda demostrado el teorema del valor medio.

La Regla de Barrow

establece que la integral definida de una función continua f(x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva F(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

La regla se conoce como Regla de Barrow en honor a Isaac Barrow (1630-1677) y también como segundo teorema fundamental del cálculo.

Para resolver una integral definida de una función, es suficiente encontrar una primitiva de la función y sustituir en ella los límites superior e inferior de integración y restar ambos valores.

Integrales definidas

Integrales definidas 

  Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b. La integral definida es uno de los conceptos fundamentales del Análisis Matemático. La integral definida de f(x) en el intervalo [a,b] es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b (bajo la hipótesis de que la función f es positiva). Esta integral se representa por:

a es límite inferior de la integración y b es límite superior de la integración.

Si la función F es una función primitiva de f en el intervalo [a,b], por la Regla de Barrow se tiene que:

Propiedades 
 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la 

integral de la función.

ejemplo 

La imagen de ejemplo tiene un error en el primer término, al integrar x^2 queda x^3/3, luego al remplazar 2 en x, queda 8/3, siendo el resultado 2/3

Ejercicio 1.

 

Ejercicio 2.

 

Ejercicio 3.

 

Ejercicio 4.

 

Ejercicio 5.

 

Ejercicio 6.

Ejercicio 1 resuelto

Ejercicio 2 resuelto

Ejercicio 3 resuelto

Ejercicio 4 resuelto

Ejercicio 5 resuelto

Ejercicio 6 resuelto